昨日、台風を見ながら、雨というのはどれくらいのスピードで落ちてくるのだろうと考えていた。
推定
空気抵抗を速度に比例するものと考えれば、雨の水滴の受ける力は下向きにmg-kv(mは雨滴の質量、gは重力加速度、kは定数、vは雨滴の速度) になるはずです。となれば、加速度はg-kv/mです。つまり、雨滴の加速するにつれ、加速度は低下し、やがて、 雨滴の速度は一定に落ち着くはずです。計算が面倒になることを避けるため、とりあえず、ここでは、この数字のオーダーだけがわかればいいものとしましょう(なにしろ、雨の中で暗算していたのですから、大雑把な計算ですがお赦しください。)。
では、雨滴はどれくらいの高さから落ちたら、その定常速度に達するのでしょうか?
雨が顔に当たると痛いですが、少なくとも数メートル上から水を落とされれば同じくらいには痛いように思えます。 そこで、5m程度の高さから落とされれば、この定常速度に達すると考えることにしましょう。5mの高さから自由落下運動する雨滴が落ちると1/2gt^2=5ですから、t=1、1秒で5mの距離に達することになります。実際には空気抵抗kv/mがあるので1秒より大分時間がかかるはずですが、それでも、この2倍はかからないはずです。となると、おおむね1~2秒で定常速度に達することになります。
さて、1~2秒で定常速度に達するとして、その間、加速度はgから0まで減少していくはずです。
ですから、その間、平均1/2gの加速度で速度が増え続けていると考えることにしましょう。とすれば、1~2秒後には5~10m/sの速度に達していると考えていいはずです。
答え
5~10m/s
答え合わせ
ウェブで調べたところ、この雨滴が最終的に達する定常速度のことを「雨滴の終端速度」と呼ぶそうです。その実測値は600cm/sから900cm/s(雨滴の大きさによって最終的な速度は変わる)だそうです。
そういうわけですので、上記の推論は概ね正しかったのではないでしょうか?
推定
空気抵抗を速度に比例するものと考えれば、雨の水滴の受ける力は下向きにmg-kv(mは雨滴の質量、gは重力加速度、kは定数、vは雨滴の速度) になるはずです。となれば、加速度はg-kv/mです。つまり、雨滴の加速するにつれ、加速度は低下し、やがて、 雨滴の速度は一定に落ち着くはずです。計算が面倒になることを避けるため、とりあえず、ここでは、この数字のオーダーだけがわかればいいものとしましょう(なにしろ、雨の中で暗算していたのですから、大雑把な計算ですがお赦しください。)。
では、雨滴はどれくらいの高さから落ちたら、その定常速度に達するのでしょうか?
雨が顔に当たると痛いですが、少なくとも数メートル上から水を落とされれば同じくらいには痛いように思えます。 そこで、5m程度の高さから落とされれば、この定常速度に達すると考えることにしましょう。5mの高さから自由落下運動する雨滴が落ちると1/2gt^2=5ですから、t=1、1秒で5mの距離に達することになります。実際には空気抵抗kv/mがあるので1秒より大分時間がかかるはずですが、それでも、この2倍はかからないはずです。となると、おおむね1~2秒で定常速度に達することになります。
さて、1~2秒で定常速度に達するとして、その間、加速度はgから0まで減少していくはずです。
ですから、その間、平均1/2gの加速度で速度が増え続けていると考えることにしましょう。とすれば、1~2秒後には5~10m/sの速度に達していると考えていいはずです。
答え
5~10m/s
答え合わせ
ウェブで調べたところ、この雨滴が最終的に達する定常速度のことを「雨滴の終端速度」と呼ぶそうです。その実測値は600cm/sから900cm/s(雨滴の大きさによって最終的な速度は変わる)だそうです。
そういうわけですので、上記の推論は概ね正しかったのではないでしょうか?